算术序列 – 定义和公式

等差数列是一个序列,其中每个项是通过从一项到下一项添加或减去相同的值来找到的。 这个被添加或减去的值称为“共同和”或“共同差”

如果公差为正,则序列项的值将增加。

如果公差为负,则序列项的值将减小。

例如,以下两个序列是算术序列的示例。


1、4、7、10、13、16、19、…….

70, 62, 54, 48, 40, …

仔细观察 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …….,有助于我们做出以下观察:

如您所见,每一项都是通过将 3(一个常见的总和)与前一项相加来找到的。

算术序列

仔细观察 70, 62, 54, 46, 38, …….,有助于我们做出以下观察:

这一次,为了找到每一项,我们减去 8,这是与前一项的共同差异。

许多算术序列可以用代数表达式建模

这是一个技巧或“配方本身” 快速得到代数表达式!

1) 让我们尝试对 1、4、7、10、13、16、19、…….

令 n 表示序列中的任何项数。 我们添加到每个术语的数字是 3。

序列中 1 之前的数字是 -2。

因此,我们可以用这个代数表达式对序列进行建模: 3 × n + -2.

检查代数表达式是否有效:

  • 当 n = 1 时,表示第一项,我们得到 3 × 1 + -2 = 3 + -2 = 1
  • 当 n = 2 表示第二项时,我们得到 3 × 2 + -2 = 6 + -2 = 4
  • 当 n = 3 时,表示第三项,我们得到 3 × 3 + -2 = 9 + -2 = 7

代数表达式有效!

2) 让我们尝试对 70、62、54、46、38、……

令 n 表示序列中的任何项数。 我们减去每个术语的数字是-8。

序列中 70 之前的数字是 78。

因此,我们可以用这个代数表达式对序列建模: -8 × n + 78.

检查代数表达式是否有效:

  • 当 n = 1 时,表示第一项,我们得到 -8 × 1 + 78 = -8 + 78 = 70
  • 当 n = 2 时,表示第二项,我们得到 -8 × 2 + 78 = -16 + 78 = 62
  • 当 n = 3 时,表示第二项,我们得到 -8 × 3 + 78 = -24 + 78 = 54

同样,代数表达式有效!

算术序列公式

我们用代数表达式对上面的等差数列建模的方法是一种捷径。 我们现在将使用代数表达式寻找等差数列公式。

1)

3 × n + -2 是代数表达式 14, 7, 10, 13, 16, 19, ….

让我们尝试重写 3 × n + -2 第一学期 出现在表达式中。

3 × n + -2 = 3 × n + -3 + 1 (自从 -2 = -3 + 1)

3 × n + -2 = 3 × (n – 1) + 1

3 是我们添加到每个术语的数字

1 是第一项

n 是项数

1)

-8 × n + 78 是代数表达式 7062, 54, 46, 38, ….

让我们尝试重写 -8 × n + 78 第一学期 出现在表达式中。

-8 × n + 78 = -8 × n + 8 + 70 (自从 78 = 8 + 70)

-8 × n + 78 = -8 × (n – 1) + 70

-8 是我们添加到每个术语的数字

70是第一项

n 是项数

一般来说,

让 d 是我们每次相加的数字或共同差。

让一个1 成为第一个任期

设 n 为项数

让一个n 成为第 n 项。

然后,一个n = d × (n – 1) + a1

关于等差数列的几个练习

给定的序列是算术的吗? 如果是这样,找到第 98 项。

一个。 2, 6, 9, 11, ….

湾。 -4, 0, 4, 8, 12, ….

2, 6, 9, 11, …. 不是等差数列,因为我们添加到每个项的数字并不总是相同的。

-4, 0, 4, 8, 12, …. 是一个等差数列,因为我们添加到每个项的数字总是相同的。

一个n = d × (n – 1) + a1

d = 4

n = 98

一个1 = -4

一个98 = 4 × (98 – 1) + 一个1

一个98 = 4 × (97) + -4

一个98 = 388 + -4

一个98 = 384

参加下面的等差数列测验,以检查您对本课的理解。




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