正弦定理的模棱两可的情况

当给定两条边和与两条边之一相对的角度时,就会出现正弦定理的模棱两可的情况。 我们可以用 SSA 缩短这种情况。

由于不知道第三条边的长度,所以我们不知道是否会形成三角形。 这就是我们称这种情况模棱两可的原因。

事实上,这种情况或SSA可以给出以下4种情况。

正弦定理模棱两可的情况的第一种情况发生在 a < h 时。

例如,看看下面的三角形,它只给出了两条边。 这两个给定的边是a和b。 还给出了与一侧相对的角度。 角 A 是与边 a 或两条边之一相对的角度。

注意 小号小号一个 在这种情况下意味着 a面 b面 角度A 以该顺序。

因为 a 比 h 短,所以 a 不足以形成三角形。 事实上,在 SSA 情况下可以形成的三角形的数量取决于高度或 h 的长度。

请注意,罪 A =

H
/
b

一旦你将上面等式的两边都乘以 b,我们得到 h = b sin A。

一个例子表明不能形成三角形

方法#1

假设 A = 74°,a = 51,b = 72。

h = 72 × sin (74°) = 72 × 0.9612 = 68.20

由于 51 或 a 小于 h 或 69.20,因此不会形成三角形。

方法#2

我们还可以利用正弦定理证明不存在三角形。

a / 罪 A = b / 罪 B

a / sin A 的比率是已知的,因为 a / sin A = 51 / sin 74°

由于我们也知道 b 的长度,所以正弦定理中缺少的量是 sin B。那么寻找 sin B 并看看我们最终得到什么是合乎逻辑的。

51 / sin 74° = 72 / sin B

51 正弦 B = 72 正弦 74°

罪 B = (72 罪 74°) / 51

罪 B = (72 × 0.9612) / 51

罪 B = (69.2064) / 51

罪 B = 1.3569

由于角的正弦不能大于 1,所以角 B 不存在。 因此,不能用给定的测量值形成三角形。

正弦定理模棱两可的第二种情况发生在 a = h 时。

当 a = h 时,生成的三角形将始终是直角三角形。

可以形成一个直角三角形时正弦定理的模棱两可的情况

显示可以形成直角三角形的示例

方法#1

假设 A = 30°,a = 25,b = 50。

h = 50 × sin (30°) = 50 × 0.5 = 25

由于 25 或 a 等于 h 或 25, 1 对 会形成三角形。

方法#2

再次,我们可以使用正弦定理证明这次罪 B 存在并且等于 90 度。

a / 罪 A = b / 罪 B

25 / sin 30° = 50 / sin B

25 正弦 B = 50 正弦 30°

罪 B = (50 罪 30°) / 25

罪 B = (50 × 0.5) / 25

罪 B = (25) / 25

罪 B = 1

B = 罪-1(1) = 90 度。

当 a > h 和 a > b 时,正弦定理不明确情况的第三种情况发生。

当 a 大于 h 时,又可以形成一个三角形。 但是,由于 a 大于 b,我们只能有一个三角形。 试着做一个 a 大于 b 的三角形,你会注意到这样的三角形只能有 1 个。

当恰好可以形成 1 个三角形时,正弦定理的模棱两可的情况

一个例子表明恰好可以形成 1 个三角形

假设 A = 30°,a = 50,b = 40。

h = 40 × sin (30°) = 40 × 0.5 = 20

由于 50 或 a 大于 h(或 20)和 b(或 40),因此将形成 1 个三角形。

最后一种情况:a > h 和 a < b

当 a 小于 b 时,可以形成 2 个三角形,如下图所示。 这两个三角形是三角形ACD和三角形AED。

可以形成 2 个三角形时正弦定理的模棱两可的情况

一个例子表明正好可以形成 2 个三角形

假设 A = 30°,a = 40,b = 60

h = 60 × sin (30°) = 60 × 0.5 = 30

由于 40 或 a 大于 h 且 a 小于 b 或 60,将形成 2 个三角形。


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