有什么共同的概念?

在我的生活中,音乐和数学占据了几乎同等的地位。 两者都让我兴奋,给我快乐,总是让我惊奇,让我成为一个永恒的学生。 当我告诉人们我把时间花在音乐和数学上时,他们并不感到惊讶。 他们说,数学和音乐会联系在一起。 但是这个链接是什么? 一般来说,我会得到三种类型的答案:

  1. 音乐和数学是抽象的。
  2. 两者都使用普通人无法阅读的符号系统。
  3. 计算在那里完成。

在我看来,所有这些观点都有些肤浅。

  1. 是的,数学是抽象的,因为它建立在一个公理系统之上,该系统不是通过观察自然(如物理定律)而是通过仅服从逻辑的任意选择而强加的; 音乐是抽象的,因为它没有说任何具体的东西(如戏剧),因为它不能被触摸(如雕塑)。
  2. 是的,两者都使用您必须学习的书写系统。 但在这两种情况下,书面的固定只是一种手段,而不是目的。 毕达哥拉斯定理的存在不需要希腊的测速仪在沙子中追踪它,音乐的存在是为了听而不是为了阅读。 此外,并非所有音乐都是脚本化的。 音乐理论是为欧洲古典音乐而发明的,并不一定转移到今天通过口头传播或电子音乐工作的其他文化的音乐。
  3. 是的,在这两种情况下,我们都可能需要进行计算。 但同样,计算或组合并不构成最终结果,无论是在连续乐曲或多和音乐曲中,还是在巴赫的三重赋格曲中,也不是巴托克将乐章的高潮置于与黄金数量相对应的时刻。

所有这些答案都忘记了一个基本点,在我看来,它是数学科学和音乐艺术的特征:

对象的多功能性,或参考的变化

数学家的大部分工作是从几个不同的角度考虑同一个对象,然后将观察结果从一个观点转换为另一个观点。 令人惊奇的是,我们可以从这种纯粹的翻译工作中得出有趣的结论! 音乐也是如此。 一样的旋律,一样的节奏,一样的和声可以 有或有. 它看起来相当模糊,我将通过简单的例子来解释自己。

Ca but also a — 从不同的角度来看,数学作为科学

我的物理老师过去常常取笑数学家,据他说,他们将一切都归结为琐碎的陈述,例如 0 = 0。确实,数学从很小的部分开始构建一个世界。 主要是通过翻译不同的观点来完成的。 例如,让我们证明以下断言。

关于正交中心的命题。 三角形的高是并发的,也就是说它们相交于一个共同点。


正交中心并发三角形高度

高地相交于一点

证据。 那是 美国广播公司 一个三角形。 请记住,根据定义, 高度 是通过的线 并垂直于线(公元前)。 不应与 调解员 在 [BC] 根据定义,它是垂直的 [BC] 并通过中间 [BC].
很容易看出三角形的三个中介是并发的。 确实,中介在 [AC] 是等距点的集合 VS ; 类似地,其他两个中介也是如此。 所以调解人的交点在 [AC] 和 [BC] 是等距的 VSVS所以它也是等距的 . 因此它位于上的垂直平分线上 [AB].
实际上,三个中介的交点就是三角形外接圆的中心。


mediatrises 是并行线

中介相交
在外接圆的中心

现在回到高度相交的问题。 我们构造一个新的三角形 美国广播公司’ 如下图所示。


构造一个对偶三角形

小三角形ABC的高是
大三角形 A’B’C’ 的中介

行(AB) 和 (那’)是平行的; 从夫人(交流电) 和 (巴’)。 所以 ABA’C 是平行四边形,因此等式 AB=CA’. 同样我们展示 AB=B’C. 它遵循 B’C=CA’ 或者那个 VS是中间 [A’B’]. 因此,高度由 VS 在三角形 美国广播公司 与调解员一致 [A’B’] 三角形的 美国广播公司’. 我们可以对其他两个高度进行相同的推理。 说高度 美国广播公司 是并发的,因此相当于说 美国广播公司’ 是并发的——我们知道最后一个陈述是正确的, qed

概括 一个三角形的三个高也是另一个三角形的中点。 证明的本质在于将一种观点转化为另一种观点。 数学对象,这里是一条直线,可以是 但是也 . 这是纯粹的矛盾心理,数学家是翻译者!

另一个例子是茎上的蚂蚁问题,乍一看似乎很复杂,但如果我们改变参照系,最后就变得微不足道了。

Ca but also a — 音乐作为矛盾的艺术

一个基本的例子涉及节奏。 很多 作曲家 (尤其 勃拉姆斯) 使用数字六是 3+3 但也是 2+2+2 的事实。 对于那些知道视唱(和分数的计算)的人来说,这转化为等式 6/8=3/4。 结果,您可以很好地将几个 3/4 小节偷偷带入 6/8 乐曲,而不会干扰音乐的一般节奏(相反添加一些)。 我相信最著名的例子是这首歌 我喜欢在美国西区故事伦纳德·伯恩斯坦.

我喜欢 (3) + 在 A (3) = MEE (2) + RII (2) + CAA (2)

另一个例子来自和谐。 正如我们刚刚谈到数学中的三角形一样,让我们​​谈谈音乐中的三和弦(三音和弦)。 以区间为例 青少年. 这个小三分之一可能是三合会的一部分 拉多米 (-minor) 以及三和弦 法拉多 (F A-重大的)。 因此是 但是也 ! 作曲家的一个技巧是在一段音乐的开头使用这种矛盾心理作为一种让听众陷入黑暗的方式。 他不知道是小调还是大调! 古斯塔夫·马勒 在他著名的柔板曲(4 第五交响曲的乐章)。 此外,他还在我们到达时用优雅的音符来欺骗我们,也就是说他让我们同时听到两种音调。 -次要和 F A– 大调,只有竖琴和低音的拨弦与我们所处的基本音相一致 F A.


古斯塔夫·马勒 Adaggieto 乐谱

古斯塔夫·马勒:第五交响曲的柔板曲

对于两个酒吧,听众害怕在里面 -次要,当它最终断言自己时 F A——少校,多么满足! 你可以在下面收听。 显然,这只是一个非常基本的例子,在音乐文献中还有许多其他更受欢迎的例子(特别是类似于上述三角形例子的调制或和声)。

这音乐在这里.

数学和音乐之间的最后一个共同点是:它很美,但没用(嗯,实用性不是他们的主要目标)。 但有一个很大的区别:数学只对那些做数学的人来说是美丽的,而音乐可以被动地享受。

此外,还有一些人,比我受过更好的教育,他们思考数学和音乐之间的结构联系,并发表了关于这个主题的严肃研究。 偶尔我会去他们的 MaMuPhi研讨会 红外摄像机。 我特别记得数学家和爵士钢琴家的一次演讲 盖里诺·马佐拉 ; 他将丛集理论与音乐结构联系起来。 我知道梁,我知道音乐,但显然不够深入,无法理解这些联系……最后,在这两个领域我都只是一个 工作数学家 在哪里 构成 谁不太关心地下基金会;-)

引用自 保罗·厄德斯 (1913-1996)

为什么数字很漂亮? 这就像是在问为什么贝多芬的第九交响曲很美。 如果你不明白为什么,有人不能告诉你。 我知道数字很漂亮。 如果它们不漂亮,那就什么都不是。


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