本课将向您展示如何解决各种几何序列单词问题。

示例 #1：

一家公司的股价最近表现不佳。 假设股票的价格每天是其先前价格的 92%。 如果股票在开始下跌之前价值 2500 美元，那么 10 天后股票的价格是多少？

解决方案

为了解决这个问题，我们需要下图的等比数列公式。

一个_n =一个₁ × r^{(n – 1)}

一个₁ = 股票的原始价值 = 2500

一个₂ = 1 天后的股票价值

一个₁₁ = 10 天后的股票价值

r = 0.92

一个₁₁ = 2500 × (0.92)^{(11 – 1)}

一个₁₁ = 2500 × (0.92)¹⁰

一个₁₁ = 2500 × 0.434

一个₁₁ = 1085 美元

该股票的价格约为 1085 美元。

示例 #2：

等比数列的第三项是45，等比数列的第五项是405。如果数列的所有项都是正数，求等比数列的第15项。

解决方案

为了解决这个问题，我们需要下图的等比数列公式。

一个_n =一个₁ × r^{(n – 1)}

找到第三项

一个₃ =一个₁ × r^{(3 – 1)}

一个₃ =一个₁ × r²

由于第三项是 45，所以 45 = a₁ × r² (等式 1)

找到第五项

一个₅ =一个₁ × r^{(5 – 1)}

一个₅ =一个₁ × r⁴

由于第五项是 405，所以 405 = a₁ × r⁴ (等式2)

划分 等式2 经过 等式 1.

（一个₁ × r⁴） / （一个₁ × r²) = 405 / 45

取消一个₁ 因为它位于分数的顶部和底部。

r⁴ /r² = 9

r² = 9

r = ±√9

r = ±3

使用 r = 3，并且 等式 1 找到一个₁

45 = 一个₁ × (3)²

45 = 一个₁ × 9

一个₁ = 45 / 9 = 5

一个_n =一个₁ × r^{(n – 1)}

现在让我们找到一个₁₅

一个₁₅ = 5 × (3)^{(15 – 1)}

一个₁₅ = 5 × (3)¹⁴

一个₁₅ = 5 × 4782969

一个₁₅ = 23914845

具有挑战性的几何序列单词问题

示例#3：

假设桌面计算机上 PDF 文件的放大倍数每缩放一级增加 15%。 还假设单词的原始长度“一月“是1.2厘米。求单词的长度”一月” 放大 6 倍后。

解决方案

为了解决这个问题，我们需要下图的等比数列公式。

一个_n =一个₁ × r^{(n – 1)}

一个₁ = 单词的原始长度 = 1.2 cm

一个₂ = 放大 1 倍后的单词长度

一个₇ = 6 倍放大后的单词长度

r = 1 + 0.15 = 1.15

n = 7

一个₇ = 1.2 × (1.15)^{(7 – 1)}

一个₇ = 1.2 × (1.15)⁶

一个₇ = 1.2 × (1.15)⁶

一个₇ = 1.2 × 2.313

一个₇ = 2.7756

6倍放大后，“一月”二字的长度为2.7756厘米。

第 1 天： 一个₁ = 1.2

第 2 天： 一个₂ = 1.2 + 1.2(0.15) = 1.2(1 + 0.15)

第 3 天： 一个₃ = 1.2(1 + 0.15) + [1.2(1 + 0.15)]0.15 = 1.2(1 + 0.15)(1 + 0.15) = 1.2(1 + 0.15)²

第 7 天： 一个₇ = 1.2(1 + 0.15)⁶

示例 #4

假设您想要一张照片的缩小版。 照片的实际长度为 10 英寸。 如果每次缩小是原来的64%，缩小多少，照片就会缩小到1.07英寸。

解决方案

一个_n =一个₁ × r^{(n – 1)}

一个₁ = 照片的原始长度 = 10 英寸

一个₂ = 缩小 1 次后的照片长度

一个_n = 1.07

r = 0.64

n = 减少次数 = ?

1.07 = 10 × (0.64)^{(n – 1)}

两边除以10

1.07 / 10 = [10 × (0.64)^{(n – 1)}] / 10

0.107 = (0.64)^{(n – 1)}

取等式两边的自然对数。

ln(0.107) = ln[(0.64)^{(n – 1)}]

使用对数的幂属性。

ln(0.107) = (n – 1)ln(0.64)

等式两边除以 ln(0.64)

ln(0.107) / ln(0.64) = (n – 1)ln(0.64) / ln(0.64)

n – 1 = ln(0.107) / ln(0.64)

使用计算器求 ln(0.107) 和 ln(0.64)

n – 1 = -2.23492644452 -0.44628710262

n – 1 = 5.0078

n = 1 + 5.0078

n = 6.0078

因此，您将需要减少 6 次。